Teorema de Ceva

Hemos visto en el capítulo de puntos notables que las alturas, las medianas, las bisectrices (que son cevianas) se cortan en un punto, pero ¿cúal será la condición necesaria y suficiente para que tres "cevianas" se corten en un punto?

Un punto de una recta que contenga un lado de un triángulo se llama punto de Menelao si no coincide con un vértice. Un segemnto que une un vértice con un punto de Menelao opuesto se denomina ceviana; éste nombre se debe a M.A. Poulain en honor de Giovanni Ceva, que 1678, publica De lineis rectis se invicem secantibus statica constructio. En dicho artículo de Ceva aparece por primera vez el teorema que lleva su nombre y que nos da la condición necesaria y suficiente para que tres cevianas se corten en un punto.

Teorema.- Dado un triángulo ABC, y tres cevianas AD, BE y CF son concurrentes en un punto si

AD   BE  CF
      ---  ---  --- =1
DB   EC   FA

y reciprocamente.

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Para la demostración usaremos varias veces el hecho de que si dos triángulos tienen la misma altura, sus áreas son proporcionales a sus bases.

AM/MB = [AMC]/[CMB] = [AMK]/[KMB] = ([AMC]-[AMK])/([CMB] - [KMB]) = [AKC]/[BKC].

Procediendo análogamente con los demás, obtenemos:

BN/NC = [BKA]/[CKA]

CL/LA = [CKB]/[AKB] y multiplicando las tres expresiones:

AM/MB BN/NC CL/LA = [AKC]/[BKC].[BKA]/[CKA] [CKB]/[AKB] = 1.

El reciproco no hace falta demostrarlo directamente, supongamos que tenemos los segmentos que verifican

AM/MB BN/NC CL/LA = 1

y no son concurrentes en un punto, evidentemente CM Y AN se sortaran en un punto K' y hacemos pasar una ceviana por BK, ésta cortará al lado AC en un punto L', que verifica por el teorema directo:

AM/MB BN/NC CL'/L'A = 1,

dividendo ambas expresiones, obtenemos:

CL/LA = CL'/L'A

y L y L' dividen el segmento en la misma razón, por ello L = L'.

Teorema de Ceva (forma trigonométrica).- Sean X, Y, Z los puntos de corte de las cevianas con los lados BC, CA y AB, y sean a₁, a₂, b₁, b₂, c₁ c₂, los ángulos que determinan las cevianas con los lados del triángulo. Las cevianas son concurrestes si y sólo si sen a₁/sena₂senb₁/senb₂ senc₁ senc₂ = 1.

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Demostración: Aplicamos el teorema desl seno al triángulo BAX:

BX/sena₁= AX/senB, de donde: BX/AX = sena₁/senB,

anánolgamente:

CX/AX = sena₂/senC

dividiendo ambas expresiones:

BX/CX = (BX/AX)/(CX/AX) = sena₁/sena₂ sen C/SenB

y aplicando el teorema del seno al triángulo ABC, tenemos:

c/senC=b/senB, y por tanto, c/b = senC/senB

que sustituyendo en la expresión anterior, nos da:

BX/CX = c/b sena₁/sena₂.

Análogamente se obtiene:

CY/YA= a/c sen₁semb₂ y AZ/ZB = a/c senc₁/senc₂.

Y multiplicando las tres expresiones:

BX/XC . CY/YA . AZ/ZB =b/a c/b a/c sena₁/sena₂ senb₁/senb₂ senc₁/senc₂

BX/XC . CY/YA . AZ/ZB = sena₁/sena₂ senb₁/senb₂ senc₁/senc₂

Y este producto es 1 si y sólo si las cevianas son concurrentes

Corolario.- Las medianas de un triángulo se cortan en un punto.

Tenemos que AM_c/M_cB= BM_a/M_aC = CM_b/M_bA = 1, y por tanto:

AM_c/M_cB . BM_a/M_aC . CM_b/M_bA = 1

Y por el teorema de Ceva se cortan en un punto.

Corolario.- las alturas de un triángulo se cortan en un punto.

Aplicamos el teorema de Ceva trigonométrico, los ángulos que forman las alturas con los lados son:

BAH = 90º - B =a₁, HAC = 90º - C, ABH = b₁ = 90º - A, HBC = b₂ = 90º - C, BCH = 90º - B y HCA = 90º - A, de donde:

sen(90º - B)/sen(90º - C) . sen(90º - C)/sen(90º - A) . sen(90º - A)/sen(90º - B) = 1

Corolario.- Las bisectrices de un triángulo se cortan en un punto.

Sabemos que AV_c/b = V_c B/a, BV_a/c = V_aC/b y que CV_b/a = V_cA/c, de donde:

AV_c/V_cB BV_a/V_aC CV_b/V_bA = b/a c/b a/c = 1 y las bisectrices son concurrentes en un punto.

Aplicando el teorema de Ceva trigonométrico, la demostración es inmediata, basta observar que los ángulos que forma la ceviana (la bisectriz) con los lados son iguales.

Problema.- Sean X, Y y Z, los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita con los lados del triángulo ABC, demuestra que son concurrentes. Solución.

Problema.- Dadas tres cevianas concurrentes en un punto O, probar que OX/AX + OY/BY + OZ/CZ = 1.
Solución.

Problema.- Sea A', B', C' puntos exteriores al triángulo ABC, tales que A'BC, B'CA y C'AB son triángulos isósceles semejantes. Prueba que AA', BB' y CC' son concurrentes. Solución

Teorema de Van Aubel.- Dado un triángulo ABC y tres cevianas que cortan a los lados BC, CA y AB, en los puntos X, y ,Z respectivamente y que son concurrentes en un punto D, entonces:

AD/DX = AY/YC+AZ/ZB

Demostración.- Sabemos que BX/XC = [ABD]/[CAD], CY/YA =[BCD]/[ABD], AZ/ZB = [CAD]/BCD].

Además AD/DX = [ABD]/[DBX] = [ADC]/[DXC] = ([ADB]+[ADC])/([DXC]+[DXB]) = ([ADB]+[ADC])/[DCB] = [ADB]/[DCB]+[ADC]/[DCB] = 1/(CY/YA) + AZ/ZB = AY/YC+AZ/ZB.

Corolario.- El baricentro divide a la mediana en la razón 2:1.

En efecto por el teorema anterior, tenemos que AG/GX = AY/YC + AZ/ZB, pero X, Y, y Z son los puntos medios de los lados, por tanto:

AG/GX = AY/YC + AZ/ZB =2.

Portada. Introducción. Conceptos. Cicuncentro. Ortocentro. Incentro. Baricentro. Semejanza.Teorema de Pitágoras
Teorema del seno. Teorema de la altura. Teorema del coseno. Area. Recta de Euler. Círculo de los nueve puntos.
Teorema de Menelao. Teorema de Stewart. Problemas

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