Sea A', B', C' puntos exteriores al triángulo ABC, tales que A'BC, B'CA y C'AB son triángulos isósceles semejantes. Prueba que AA', BB' y CC' son concurrentes.

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Sean X, Y, Z, los puntos de corte de los segmentos AA', BB' y CC' con los lados del triángulo y sea W el ángulo de la base del triángulo isósceles. Aplicamos el teorema del seno a los triángulos AA'B, AA'C, ABX y al triángulo ABC. Tenemos que calcular BX/CX CY/YA y AZ/ZB para aplicarle el teorema de Ceva.

senA/a = senB/b = sen C/c

b/c = senB/senC

senW/XA' = sen(BA'X)/BX; senW/XA' = sen(XA'C)/XC

dividiendo ambas expresiones:

BX/CX = sen(BA'X)/sen(XA'C)

sen(B+W)/AA' =sen(BA'A)/c

sen(C+W)/AA' = sen(AA'C)/b

de donde:

sen(B+W)/sen(C+W)=b/c sen(BA'A)/sen(AA'C) = b/c BX/CX = senB/senC BX/CX

ya que los ángulos BA'C y AA'C son iguales a BA'X y XA'C.

por tanto:

BX/CX = sen(B+W)/sen(C+W) senC/senB

Análoganente:

CY/YA = senA/senC sen(C+W)/sen(A+W) y AZ/ZB = senB/senA sen(A+W)/sen(B+W)

BX/CX . CY/YA . AZ/ZB =

=sen(B+W)/sen(C+W) . senC/senB . senA/senC . sen(C+W)/sen(A+W) . senB/senA . sen(A+W)/sen(B+W) =1

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