|
|
|
|
|
|
El teorema de Ceva nos permitía estudiar cuando tres cevianas son concurrentes, el teorema de Menelao, estudia la alineación de puntos.
Teorema de Menelao.- Sea X', Y , Z puntos de los lados BC, CA y AB respectivamente (o de sus prolongaciones). Estos puntos están alineados si y sólo si BX'/X'C CY/YA AZ/ZB = -1
Demostración.- Trazamos una paralela a la recta YZ por el vértice C, que cortará al lado AB en un punto W, por tanto:
BX'/X'C
= BZ/ZW y CY/YA = WZ/ZA
BX'/X'C . CY/YA . AZ/ZB = BZ/ZW . WZ/ZA . AZ/ZB = (-1)(-1)(-1)= - 1
Reciprocamente. Veamos que los puntos están alineados. Supongamos que X' y Z intersecan a AC en un punto Y', entonces por la condición suficiente, tendremos que:
BX'/X'C CY'/Y'A AZ/ZB = -1 y además BX'/X'C CY/YA AZ/ZB = -1,
dividiendo ambas expresiones, obtenemos:
CY'/Y'A = CY/YA
y el punto Y e Y' dividen al segmento AC en la misma razón y por consiguiente son iguales.
|
|
|
Pepe Martínez, 19/10/2005, creado con GeoGebra