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Definición.- Los segmentos que unen los vértices de un triángulo con el ortocentro se denominan segmentos de Euler, y sus puntos medios se llaman puntos de Euler y el triángulo que determinan estos puntos se llama triángulo de Euler
Definición.- El triángulo cuyos vértices son los puntos medios del triángulo ABC, se denomina triángulo medial
Teorema.- El triángulo de Euler de un triángulo y su triángulo medial son congruentes
Los
puntos Mb y Mc son los puntos medios de los lados AC y AB respectivamente,
por tanto MbMces paralelo al lado BC y mide su mitad.
Por otra parte los puntos D y E son los puntos medios del triángulo HBC,
y por ello, DE es paralelo a BC y mide la mitad de BC. Por ende DE y MbMc
son paralelos y miden lo mismo.
Análogamente los demás lados, y los triángulos DEF y MaMbMc
tienen los lados paralelos e iguales.
Problema.- Demuestra que el circuncentro de un triángulo es el ortocentro de su triángulo medial. Solución
Los puntos Mb,Mc, D y E forman un rectángulo.
Sabemos que McDEMb es un paralelogramo, por ser DE y MbMc paralelas medias de un triángulo, además McD es paralelo a AH, que a su vez es perpendicular al lado BC, por tanto, McD y DE son perpendiculares.
Por la misma razón FMcMaE es un rectángulo
Y podemos observar que la diagonales de ambos rectángulos se cortan en N, su punto medio. Por tanto la circunferencia que tiene a las diagonales por diámetros pasará por los vértices de los dos rectángulos. Además podemos observar que el triángulo FHaMa es rectángulo y su hipotenusa es una de las diagonales citadas, luego la circunferencia pasará por el pie de la altura y análogamente pasará por los pies de las otras alturas. En definitiva dicha circunferencia pasa por nueve puntos, los pies de las alturas los puntos medios y los puntos de Euler. A esta circunferencia se le denomina de los nueve puntos.
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