Teorema de Stewart

El teorema de Stewart se utiliza para calcular las longitudes de las cevianas

Sea el triángulo ABC y sea M_a el punto medio del lado BC, aplicamos el teorema del coseno a los triángulos ABM_a y AM_aC, c² = (a/2)² + m²_c - 2 a/2 m_c cos(BM_aA) y b² =(a/2)² + m²_c - 2 a/2 m_c cos (180º-BMM_a).

Sumando miembro a miembro, obtenemos: b² + c² = 2 m²_c + (a/2)².

RMM se obtiene: b²-c² = 2 a M_aH_a

Consideramos un punto D en el lado BC, y las proyecciones de los lados sobre el lado AB son respectivamente m y n, aplicamos el teorema del coseno a los triángulos ABD y DCA y obtenemos:

c² = n² + d² - 2 n d cos(BDA)

b² =m²+d²- 2 md cos(ADC)

Ahora no podemos eliminar, sumando miembro a miembro el término que contiene a 2 m d cos(BDA), pues m y n no tienen por qué ser iguales. Para eliminarlos multiplicamos la primera igualdad por m y la segunda por n y sumamos.

m c² +n b² = (n+m) d² +m n² + n m²

m c² + n b² = a d² +a n m = a (d² + m n)

resultado que se conoce como Teorema de Stewart.

Problema (Teorema de Apolonio).- Halla la longitud de la mediana m_a, en función de los lados a, b, c de un triángulo. Solución

Pepe Martínez, 18/10/2005, creado con GeoGebra