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Sabemos que el triángulo medial de un triángulo ABC es determinado por los puntos medios de los lados, es decir, por MaMbMc, observemos que las perpendiculares a los lados por sus puntos medios (mediatrices) se cortan en el circuncentro O de ABC, pero estas rectas son perpendiculares a los lados del triángulo medial y pasan por sus vértices (alturas), así pues, el circuncentro de un triángulo coincide con el ortocentro de su triángulo medial.
Por otra parte
la mediana ma del triángulo ABC corta al lado MbMc
del triángulo medial en su punto medio.
En efecto: Si consideramos el triángulo ABMa, tendremos que el
punto medio del lado BC es Mc y la paralela al lado BMa por este punto,
corta al lado AMa en su punto medio, sea este P, y sabemos que McP es
la mitad del lado BMa, es decir, 1/4 del lado BC, como McMb mide 1/2
de AB, tendremos que P es el punto medio del lado McMb.
Este mismo razonamiento lo podemos emplear para los otros lados del triángulo medial, de donde se deduce que el baricentro del triángulo ABC y el de su medial son coincidentes.
Observemos
también que el triángulo medial y el dado son semejantes,
ya que tienen los lados paralelos, y su razón de semejanza es 1:2.
Así pues, tendremos que el ortocentro H del triángulo ABC
se transforma en el ortocentro de su triángulo medial H', por lo
que AH = 2 MaH', segmentos que al ser perpendiculares al lado BC son
paralelos entre sí.
Considerando el segmento AMa, que no es otro que la mediana, y el segmento
HO = HH', obtenemos un dos triángulos semejantes, el AHJ y el MaOJ,
por tener iguales los ángulos en J, opuestos por el vértice,
y los ángulos HAJ y JMaO, por ser alternos internos. Como AH =
2 OMa, la razón de semejanza es 2:1, y AJ = 2 JMa, lo que nos
lleva a concluir que el punto J es precisamente el baricentro G del triángulo
ABC.
Teorema.- Dado un triángulo ABC, el ortocentro H, el baricentro G y el circuncentro están alineados, a la recta que pasa por estos tres puntos se le denomina recta de Euler, y HG = 2 GO
Problema.-
Demuestra que el punto medio N del segmento HO es el circuncentro del triángulo
medial. Solución
¿Qué ocurre si el triángulo es obtusángulo?¿Y
si es recto?
Problema.- Sea ABC un triángulo en el que la recta de Euler pasa por el incentro, prueba que el triángulo es isósceles. Solución
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Pepe Martínez, 2/10/2005, creado con GeoGebra