Se utilizan varias unidades para medir los ángulos, la más empleada en la vida cotidiana es la sexagesimal, también es utilizada sobre todo por los topógrafos la centesimal y por los matemáticos el radian.

Sexagesimal

Aproximadamente en el año 1000 a.C. los babilonios extienden a los círculos celestes la división del día en 360 partes, y cada una de estas partes le llaman grado sexagesimal. y a la cuarta parte le corresponden 90 grados sexagesimales, que se nota por 90º.

Ahora bien como los babilonios utilizan el sistema de numeración de base 60, dividen el grado en 60 partes iguales y a cada una de estas partes la denomina minuto y se nota por 1'. Cada minuto lo subdividen a su vez en 60 segundos y cada una de estas subdivisiones lo notaron por 1''.

Así pues tenemos que un ángulo recto mide 90º, 1º= 60' y 1'= 60''.

Recordemos como se opera con grados sexagesimales.

• Suma :

• Diferencia:

• Producto:

• División:

Centesimal

La medida de ángulos centesimal se adopto con el sistema métrico decimal. El ángulo completo 360º en el sistema sexagesimal se divide en 400 partes iguales y un ángulo recto en 100, se notan por 100 ^g. Y le llama gradian.

A su vez cada grado centesimal (gradian) se divide en 100 partes iguales que son los minutos, se nota por 1^m y cada minuto se subdivide en 100 segundos que lo notaremos por 1^s.

Las operaciones son análogas a las sexagesimales pero más fáciles al usar un sistema de base 100.

Radianes

Dada una circunferencia de centro O y radio r, se denomina radian al ángulo central cuyo arco coincide con el radio.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. (click here to install Java now)

Como la longitud de la circunferencia es 2 p r, la medida en radianes de un ángulo completo será 2pr/r = 2 p.

Por lo que podemos escribir:

360º = 400^g =2 p

Equivalencia que nos permite pasar de un sistema de medida a otro, utilizaremos los grados sexagesimales y el radian.

Ejemplo.- ¿Cuántos radianes son 45º? Solución.

Ejemplo.- ¿Cuántos grados son p/3 radianes? Solución.

Ejercicio.- Completa la siguiente tabla:

OBSERVACIÓN.- El radian es la medida natural de los ángulos, al utilizarla se pueden definir las funciones trigonométricas, funciones reales de variable real, así por ejemplo tenemos que:

• lim_x®0 sen(x)/x=1
• La derivada de sen(x)=cos(x). Si la unidad de medida que utilizamos fuese sexagesimal la derivada de sen(xº)= p/180º cos(xº), etc.

Ángulos. Ángulos en la circunferencia.Teorema de Thales. Homotecia y semejanza. Trigonometría. Razones trigonométricas de un ángulo agudo. Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera. Relación fundamental. Secante, cosecante y cotangente. Reducción al primer cuadrante. Razones trigonométricas de ángulos complementarios. Razones trigonométricas de la suma o diferencia de dos dados. Razones del ángulo doble y mitad. Funciones circulares. Ecuaciones trigonométricas. Resolución de triángulos. Teorema de Pitágoras. Teorema de altura. Teorema del seno. Teorema del coseno. Coordenadas. Vectores. Recta en el plano: generalidades. Ecuaciones de la recta. Incidencia y paralelismo. Distancia punto recta.. Funciones:geenralidades. Dominio. Simetría y periodidcidad. Crecimiento. Operaciones con funciones. Función polinómica. Funciones a trozos. Funciones trascendentes.