Observa los siguientes mapas del puerto de Cartagena
Son mapas a distintas escalas, son figuras que tienen la misma
forma pero distinto tamaño. La leyenda que aparece en la parte inferior
izquierda, indica que un segmento de esa longitud en la imagen se corresponde
con 1Km, 200 m, 100m, 50m en la realidad. ¿Sabrías decir cuánto
miden los barcos?
Para realizar las medidas del barco podemos utilizar Geogebra, haciendo
doble clic sobre el siguiente applet, puedes abrir la aplicación.
Observa ahora la figura de chicken-litle, mueve el deslizador. ¿Cómo son las figuras? El valor de k representa las veces que una figura es más grande que otra. A k se le llama razón de semejanza.
Empezaremos estudiando las figuras semejantes más sencillas, esto es, los triángulos semejantes.
Triángulos semejantes
Dos triángulos se dicen semejantes cuando tienen sus ángulos
iguales y los lados homólogos son proporcionales.
Se dicen ángulos homólogos aquellos que son iguales y lados homólogos
los opuestos a los ángulos homólogos. Llamaremos razón
de semejanza a la razón entre lados homólogos, es decir a AB/A'B'
= AC/A'C' = BC/B'C'
Triángulos en posición de Thales.- Toda recta paralela a uno de los lados de un triángulo que no pase por el vértice opuesto y que corta a los otros dos lados o a sus prolongaciones, determina un triángulo semejante al dado.
Los triángulos son semejantes, pues A=A' por coincidir o ser opuestos por el vértice, y B = F y C = D por correspondientes o por ser alternos internos y los lados son proporcionales por el teorema de Thales.
Criterios de semejanza
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Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.
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Si dos triángulos tienen dos lados proporcionales, e iguales los ángulos comprendidos son semejantes.
- Si dos triángulos tienen los tres lados proporcionales son semejantes.
Mediante la semejanza podemos obtener un sin fin de medidas de objetos inalcanzables.
Ejercicio.- Obtener la anchura de un río (sin tener un puente cerca, ni poder vadearlo). Solución
Ejercicio.- Obtener la altura del faro de cabo de Palos. Solución
Ejercicio.- Halla la distancia a la que se encuentra el barco de la playa, de la figura siguiente. Solución.
POLÍGONOS SEMEJANTES
Dos polígonos del mismo número de lados son semejantes,
si los ángulos son iguales y los lados homólogos son proporcionales.
OBSERVACIÓN.- Habrás notado que para que dos polígonos sean semejantes exigimos que los ángulos sean iguales y que los lados sean proporcionales, en cambio para el triángulos sólo bastaba una de las dos condiciones. ¿Podrías explicar por qué? Solución.
Observa las medidas de los lados de cada uno de los polígonos.¿Qué relación existe entre ellos? ¿Y entre las diagonales? ¿Qué relación existe entre las áreas?
Si no lo ves claro observa el siguiente applet:
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La razón de las áreas
es igual a la razón de semejanza al cuadrado
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Ejercicio.- Observa la siguiente imagen, es una vista de la plaza Héroes de Cavite. Calcula el valor real del área de la plaza. (La escala está en la parte inferior izquierda)
Ejercicio.- Halla el área del coso taurino de la Condomina, sabiendo que el área del rectángulo de juego es 7004 metros cuadrados.
Vamos a ampliar nuestro estudio al espacio, ¿qué relación existe entre los volúmenes de dos figuras semejantes?
Como habrás adivinado, la razón de los volúmenes de dos cuerpos semejantes es la razón de semejanza al cubo.
Detrás de esta sencilla afirmación geométrica se hallan muchas respuesta a problemas de la vida cotidiana.
La semejanza en el corral.- La llamada ración alimenticia de "sostén" (alimento mínimo que cubre exclusivamente las calorías que consume el funcionamiento de los órganos internos, el restablecimiento de las células que perecen, etc.) es proporcional a la superficie externa del cuerpo del animal. Conociendo esto hallar las calorías necesarias para la ración alimenticia de sostén de un buey que pesa 420 kg. Se sabe que en estas condiciones un buey que pesa 360 kg. necesita 13500 calorías. Solución.
Analiza el siguiente texto entresacado de la novela "Por un millón de dólares" de Alberto Vázquez-Figueroa
"Los animales de sangre caliente pueden permanecer
activos en ambientes fríos en los que los animales de sangre fría
difícilmente consiguen moverse.Los animales de sangre caliente
sobreviven en las regiones árticas o en las altas montañas
donde la mayoría de animales de sangre fría difícilmente
lo harían. Los animales de sangre caliente consiguen comida o se
defienden en un variado rango de temperaturas. Los animales de sangre
fría solamente lo hacen cuando están suficientemente calientes.
El nivel de actividad de un animal de sangre fría depende de la
temperatura de su medio ambiente; un reptil incrementará la temperatura
de su cuerpo antes de cazar y le resultará más fácil
escapar de los depredadores cuando está caliente.
Sin embargo, tener la sangre fría ofrece ciertas ventajas, ya que
precisan mucha menos energía para sobrevivir. Los mamíferas
y aves exigen más comida y energía que los animales de fría
del mismo peso, debido a que los animales de sangre caliente el calor
perdido es proporcional a la superficie de sus cuerpos, mientras el calor
creado por sus cuerpos es proporcional a su masa. La razón del
área de superficie de un cuerpo a su masa es menor mientras más
grande es el animal. Esto significa que animales grandes de sangre caliente
pueden generar más calor que el que pierden por lo que mantienen
estable la temperatura de su cuerpo. Los pequeños animales de sangre
caliente pierden calor más rápidamente. Los animales de
sangre caliente no pueden ser demasiado pequeños ya que perderían
con más rapidez de la que lo producen."
¿Explica por qué se congela un bebe antes que un adulto?
¿Explica por qué se hielan antes las manos y los pies que el resto del cuerpo?
¿Habrá existido King-Kong?
Para responder esta pregunta necesitamos saber ¿cuántas veces es más alto King-kong que un gorila? es decir, la razón de semejanza. Imaginemos que mide 30 metros, y que un gorila mide 1.50 metros, la razón de semejanza sería 30/1.5 = 20.
El volumen de King sería el volumen del gorila multiplicado por 203 = 8000, es decir, King es 8000 veces más pesado que un gorila, pero los huesos que han de soportarlo tienen una sección (área) que se incrementa únicamente en 202 = 400, los huesos de King están diseñados para soportar un peso 20 veces inferior al que tendría, por ende caería aplastado por su propio peso, salvo que estos fuesen de acero.
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Ángulos. Medida de ángulos. Ángulos en la circunferencia.Teorema de Thales. Trigonometría. Razones trigonométricas de un ángulo agudo. Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera. Relación fundamental. Secante, cosecante y cotangente. Reducción al primer cuadrante. Razones trigonométricas de ángulos complementarios. Razones trigonométricas de la suma o diferencia de dos dados. Razones del ángulo doble y mitad. Funciones circulares. Ecuaciones trigonométricas. Resolución de triángulos. Teorema de Pitágoras. Teorema de altura. Teorema del seno. Teorema del coseno. Coordenadas. Vectores. Recta en el plano: generalidades. Ecuaciones de la recta. Incidencia y paralelismo. Distancia punto recta.. Funciones:geenralidades. Dominio. Simetría y periodidcidad. Crecimiento. Operaciones con funciones. Función polinómica. Funciones a trozos. Funciones trascendentes.