HIPÉRBOLA
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La hipérbola es el lugar geométrico de
los puntos del plano, cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos
(los focos) es constante.
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Elementos de la hipérbola
Actividad 1.- Abre el programa Geogebra dibuja una hipérbola, para ello:
- Dibuja cinco puntos.
- Traza la cónica que pasa por dichos puntos, observa la ecuación en la ventana de la izquierda.
- Introduce varios parámetros y escribe una ecuación similar a la obtenida en el apartado anterior.
- Modifica los parámetros, haz clic sobre uno de ellos y en modo Desplazamiento mueve las teclas-flecha. Observa como se modifica la cónica.
- Dibuja la cónica 4 x2 - 25 y2 = 100.
- Calcula los ejes y el centro. Ve a la línea de comandos, elige Ejes, después elige Intersección y teclea el nombre de los ejes, el punto que se obtiene es el Centro.
- Dibuja un punto sobre la cónica, y halla el simétrico respecto
al centro y los ejes (recuerda que el comando se denomina Reflejo).
Desplaza el punto y observa.
Solución
Actividad 2.- Situate en Geogebra:
- Dibuja una hipérbola, y calcula los focos (en la línea de comandos escribe focos[cónica]), el punto medio de los focos se denomina Centro y la línea que los une se llama eje focal y la perpendicular por el centro es el eje imaginario ; los puntos de corte de la gráfica con el eje mayor se denominan Vértices y el segmento que determinan eje transverso. Obtén estos elementos.
- Con centro en uno de los vértices dibuja una circunferencia de radio la semidistancia focal, halla los puntos de intersección de la circunferencia con el eje imaginario, el segmento que determiana estos puntos se denominan eje no transverso. Halla su longitud.
- Observa que uno cualquiera de los puntos obtenidos en el apartado anterior el centro y un vértice determinan un triángulo rectángulo ¿Cuánto vale la hipotenusa?
- Compara el valor de la hipotenusa obtenida anteriormente con el valor de
la semidistancia focal.
Solución
Excentricidad.
| Si 2a es la longitud del eje transverso y si 2c es la distancia focal a la razón 2c/(2a), existente entre la distancia focal y el eje transverso, se le llama excentricidad. |
La excentricidad de la hipérbola es un número mayor que uno.
Asintotas.- Abre Geogebra dibuja una hipérbola e introduce en la línea de comandos "asintotas" e indica el nombre de la cónica.
Ecuación reducida de la hipérbola
Veamos que la ecuación general de una hipérbola a x2 + bx y +c y2+ d x+ e y+f = 0, la podemos reducir a la forma canónica Ax2-By2=1, mediante una traslación de ejes y un giro.
- En primer lugar, hacemos una traslación de forma que el Centro de la elipse coincida con el eje de coordenadas, con ello conseguimos que los términos en x e y desaparezcan.
- Realizamos un giro tal que los ejes de la conica coincidan con los ejes de coordenadas.
Expresión de los radios vectores
Consideramos unos ejes cartesianos rectángulares coincidentes con los ejes de la hipérbola. Sea a el semieje transverso, c la semidistancia focal y e la excentricidad de la hipérbola.
Los dos radios vectores son los lados de un triángulo PFF'. Si aplicamos el teorema del coseno a cada uno de los triángulos, obtenemos:
PF2=OP2 + OF2 - 2 OP OF cos(POF)
PF'2=OP2 + OF'2 - 2 OP OF' cos(180º-POF
) =OP2 + OF'2 +2 OP OF' cos(POF )
Pero al ser PF = PF' = c, y OP cos(POF) = x = abcisa del punto P; restando miembro a miembro, tendremos:
PF'2 - PF2 = 4 c x
como PF' - PF = 2a, obtenemos:
PF'2-PF2 = (PF'-PF)(PF'+PF) =
=(PF' + PF) 2a = 4 c x ÞPF' + PF = 2cx/a =2 e x
Resolviendo el sistema se obtiene:
PF' = e x + a
PF = e x - a
Ecuación cartesiana de la hipérbola
Hemos visto que:
PF2 = (x-c)2 + y2 = (ex -
a)2
c2 +x2 - 2 x c + y 2 = a2 + e2
x2 - 2 a c/ax = a2 + (c/a)2 x2
- 2 c x
c2 +x2 + y 2 = a2 + c2 /a2
x2
c2 - a2 = - x2 + c2 /a2
x2 -y2
b2= b2x2/a2 - y2
Así pues la ecuación reducida de la hipérbola es:
x2/a2 - y2/b2 = 1
o bien:
y2/a2-x2/b2=1
Actividad 3.- Abre el programa Geogebra e introduce los parámetros a=2 y b=3.
Escribe la ecuación x2/a2 - y2/b2 = 1. Obtén los parámetros de la hipérbola.
Modifica los valores de a y b y comparalos con los parámetros obenidos en el apartado anterior. Solución
Problema.- Dada una recta XX' y dos rectas perpendiculares a la primera. Desde un punto M se abaten las perpendiculares MP, MQ, MR sobre estas rectas. ¿Cúal es el lugar geométrico de los puntos M tales que MP sea media proporcional entre MQ y MR? Solución
Problema.- En una hipérbola equilátera, los ángulos de la base del triángulo AMA' obtenido uniendo un punto cualquiera M de la curva con los dos vértices tienen un ángulo recto por diferencia. Solución.
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