Tipos de soluciones 

Los programas lineales con dos variables suelen clasificarse atendiendo al tipo de solución que presentan. Éstos pueden ser:

Factibles Si existe el conjunto de soluciones o valores que satisfacen las restricciones. A su vez, pueden ser:
     
  Con solución única  
  En una urbanización se van a construir casas de dos tipos: A y B. La empresa constructora dispone para ello de un máximo de 1800 millones de pesetas, siendo el coste de cada tipo de casa de 30 y 20 millones, respectivamente. El Ayuntamiento exige que el número total de casas no sea superior a 80.
Sabiendo que el beneficio obtenido por la venta de una casa de tipo A es 4 millones y de 3 millones por una de tipo B, ¿cuántas casas deben construirse de cada tipo para obtener el máximo beneficio?

  • Variables: x = nº de casas tipo A ; y = nº de casas tipo B
  • Función objetivo: Maximizar Z = f(x,y) = 4x + 3y
  • Conjunto de restricciones: El coste total 30x + 20y 1800 . El Ayuntamiento impone x + y 80 . De no negatividad: x 0 , y 0.

Tiene por región factible la región coloreada.
Si hallamos los valores de la función objetivo en cada uno de los vértices :
f(O) = f(0,0) = 0 ; f(C)=f(60,0) = 240 ;f(D) = f(20,60) = 260 ; f(E) = f(0,80) = 240
La solución es única, y corresponde al vértice para el que la función objetivo toma el valor máximo. En este caso es el vértice D(20,60). Por tanto se deben construir 20 casas de tipo A y 60 de tipo B con un coste de 260 millones de pesetas.

 

  Con solución múltiple Si existe más de una solución.......................................................................................
  Maximizar la función Z = f(x,y) = 4x + 2y sujeta a las restricciones 2x + y 4 , x - y 1 , x 0 , y 0.

Los valores de la fucnión objetivo en cada uno de los vértices son:
f(O)=f(0,0) = 0 , f(A) = f(1,0) = 4 ; f(B)=f(5/3,2/3) = 8 , f(C) = f(0,4) = 8
La función objetivo alcanza el valor máximo en los vértices B y C, por tanto, en todos los puntos del segmento BC.
Hay infinitas soluciones, solución múltiple, que corresponden a los puntos del segmento situado entre dos vértices de la región factible.
En estos casos, como ya vimos en el capítulo anterior, la función objetivo es paralela a una de las restricciones.

 

  Con solución no acotada Cuando no existe límite para la función objetivo
  Maximizar la función Z = f(x,y) = x + y sujeta a las restricciones y 2x , y x/2 .

Tiene por región factible la zona coloreada que aparece en la figura, que es una región no acotada.
La función crece indefinidamente para valores crecientes de x e y.
En este caso no existe un valor extremo para la función objetivo, por lo que puede decirse que el problema carece de solución.
Para que suceda esta situación la región factible debe estar no acotada.

 

No factibles Cuando no existe el conjunto de soluciones que cumplen las restricciones, es decir, las restricciones son inconsistentes.
  Maximizar la función Z = f(x,y) = 3x + 8y sujeta a las restricciones x + y 6 , x + y 2 , x 0 , y 0.

No existe la región factible, ya que las zonas coloreadas que aparecen en la figura son únicamente soluciones de alguna de las inecuaciones .
Por tanto, el conjunto de soluciones del sistema de desigualdades no determina ninguna región factible.
Este tipo de problemas carece de solución.

     

 

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