VI concurso Puig Adam. 1988
Los lados
CB y CA del triángulo ABC miden a, b , c y el ángulo C mide
120º. Expresa en función de a y b la longitud de la bisectriz
(interior) del ángulo C.
Sabemos
que m = n a/b, además m + n = c. Por tanto:
n a/b + n = c, n = bc/(a+b) y m = ac /(a+b).
Aplicando el teorema del coseno a los dos triángulos ACVc;
y CBVc, tendremos:
m2 = a2 +v2 - 2 v a cos (60º) = a2 +v2 - v a
n2 = b2 +v2 - 2 v b cos (60º) = b2 +v2 - v b
multiplicando la primera expresión por b y la segunda por a y restando,
tendremos:
b m2 = a2 b+ b v2 -a b v
a n2 = a b2 + a v2 - v a b
b m2 - a n2 = ab (a-b) + (b - a) v2 y sustituyendo:
b a2 c2/(a+b)2 - a b2c2/(a+b)2 = ab (a-b) + (b-a) v2.
Si a = b el triángulo sería isósceles y rectángulo
y v2 = a2+c2/4
Si a y b son distintos, podemos dividir por a-b y tendríamos:
abc2/(a+b)2 - ab = - v2
v2 = ab (1- c2/(a+b)2) = ab (a+b-c)(a+b+c)/(a+b)2
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