Rectas conjugadas isogonales
Dos Rectas AD
y AE se dicen conjugadas isogonales respecto del ángulo A,
de lados AB y AC si son simétricas respecto de la bisectriz del ángulo
A.
Las rectas AD y AE
forman ángulo iguales con los lados. Puedes mover los puntos A,B,C,D
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Teorema
El producto de los
lados de un triángulo es igual al producto de dos rectas conjugadas
isogonales, limitadas una de ellas por la base del triángulo y la
otra por la circunferencia circunscrita.
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Para obtener
la cuerda BE, isogonal, de la recta BE, se prolonga ésta hasta cortar
a la circunferencia ciscunscrita, trazando después la paralela al lado
AC.
Si trazamos la cuerda CE se formán dos triángulos semejantes BAD
y BEC, ya que tienen sus ángulos iguales, por tanto:
BA/BE= BD/BC
ÞBA BC = BE BD
Según
la posición que ocupen las rectas isogonales, se obtienen resultados
notables:
- En todo triángulo
inscrito en una circunferencia, el producto de dos lados es igual al producto
de la altura relativa al tercero por el diámetro de la cricunferencia
circunscrita.
Si el ángulo D es
recto, entonces también lo será BCE y BE es un diámetro de la
circunferencia circunscrita.
BA BC = BE BD, es decir, a c = 2 R hb.
- El producto de dos
lados de un triángulo es igual al producto de los segmentos que la
bisectriz interior determina sobre el tercero, más el cuadrado de dicha
bisectriz.
Si BD es la
bisectriz del ángulo B, su conjugada isogonal es ella misma, y AB
BC = BD BE = BE (BD+DE)= BD2+BD ED, pero sabemos que BD ED
= DA DC, pues ese producto es la potencia del punto D respecto a la circunferencia
circunscrita. Así a c = m n + k2