OME 1993/1994 Problema 4

El ángulo A de un triángulo isósceles ABC mide 2/5 de recto, siendo los ángulos B y C iguales. La bisectriz del ángulo C corta al lado opuesto en el punto D. Calcular las medidas de los ángulos del triángulo BCD. Expresar la medida a del lado BC en función de la medida b del lado Ac, sin que en la expresión aparezcan razones trigonométricas.

Los 2/5 del ángulo recto son 36º, por tanto los otros lados mide cada uno de ellos 72º. La bisectrz del ángulo C divide dicho ángulo en dos, cada uno de ellos de 36º, luego el triángulo ADC es isósceles, y el ángulo exterior a C mide 72º por lo que el triángulo BCD también es isósceles, (B = 72º D = 72º y C = 36º) coincidiendo la bisectriz con el lado a = BC = DC y el lado desigual BD = b-a.
Los triángulos ABC y CDB son semejantes por tener los tres ángulos iguales, de donde:
a/(b-a) = b/a, de donde a² = b² - ab, b² - ab - a² = 0, b=a (1+Ö5)/2

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