OME 1976/1977 Problema 6

Se considera un triángulo ABC, y sea D el punto de corte de la bisectriz correspondiente al ángulo A con el lado BC. Demostrar que la circunferencia que pasa por A y es tangente a la recta BC en D, también es tangente a la circunferencia circunscrita al triángulo ABC.

La recta AD, corta al círculo circunscrito en el punto A', y los arcos BA' y A'C son iguales, luego la perpendicular al lado BC por el punto A' pasa por el punto medio de BC y es su mediatriz, y pasará a fortiori por el circuncentro O.
Si O' es el centro de la circunferencia tangente al lado BC en D y que pasa por A. DO' es perpendicular a BC, por tanto, será paralela a A'O..
Los triángulos AOA' y AO'D son isósceles (AO=A'O=R y AO' = DO' = R'), y los ángulos de las bases AA'O y ADO' tienen los lados paralelos y por tanto son iguales, así pues, los triángulos son semejantes. Como ADA' están alineados y el ángulo A'AO coincide con el ángulo DAO', los puntos O y O' están alineados y las circunferencias son tangentes
los puntos O O' y A están alineados y las circunferncias son tangentes en A.

Pepe Martínez, 9/10/2005, creado con GeoGebra