OME 2005 Problema 3

Sea ABC...XYZ un polígono regular de n lados con todos sus lados de longitud 1. Las n – 3 diagonales que salen del vértice A dividen al triángulo ZAB en n – 2 triángulos más pequeños. Probar que cada uno de esos triángulos es multiplicativo.

Observemos que que dos diagonales consecutivas determinan un ángulo inscrito y éstos abarcan un mismo arco, así pues todos los ángulos son iguales, sea alpha . Por otra parte el lado vale 1, luego en el triángulo AZH, la altura es el seno del ángulo alpha.
Consideremos un triángulo cualquiera AA₁A₂, y vamos a calcular su área.
[AA₁A₂] = 1/2 AA₁ AA₂ sen(alpha)
[AA₁A₂] = 1/2 A₁A₂ sen(alpha)
Igualando ambas expresiones obtenemos que AA₁ AA₂ = A₁A₂, y el triángulo es multiplicativo

Creado con GeoGebra