Prueba que si a, b, c son los lados de un triángulo y r el radio de la circunferencia inscritas entonces el inverso de lradio es igual a la suma de los inversos de las alturas

Sabemos que el área [ABC] = [AIB]+[AIC]+[BIC] = 1/2 r AB + 1/2 r AC + 1/2 r BC = 1/2 r (a+b+c) = r p, y que

[ABC] = 1/2 AH_a BC = 1/2 BH_b AC = 1/2 CH_c AB = r p

1/AH_a = BC/(2rp), 1/BH_b = AC/(2rp) y 1/CH_c = AB/(2rp)

de donde:

1/AH_a + 1/BH_b +1/CH_c = BC/(2rp)+ AC/(2rp)p)+ AB/(2rp) = (AB+AC+BC)/(2rp) = 1/r