Sabiendo que el ángulo B es doble que A, en el triángulo ABC, demuestra que la circunferencia que pasa por A, I, B corta respectivamente a los lados CB y CA en puntos P, Q tales que : AQ = AI = IP = PB = a-b

El ángulo BAI = B, que al ser un ángulo inscrito es igual a la mitad del arco que abarca, es decir, 1/2 IPB. El ángulo ABP = B, que también está inscrito en la circunferencia, y por tanto mide la mitad del arco PIA y los arcos IPB y BIA son iguales; pero al ser I el incentro está sobre la bisectriz y los ángulos ABI e IBP son iguales, por tanto los arcos AI e IP son iguales, como lo son las cuerdas AI e IP. Por tanto las cuerdas AI = IP = BP.
De otra parte, tenemos que CA CQ = CP CB (potencia de C respecto de la circunferencia), como AC = PC(observemos que el triángulo PAC es isósceles), tendremos que QA = BP. Además AC = b = PC, de donde BP = AC - PC = a - b

Pepe Martínez, 14/10/2005, creado con GeoGebra