XII OM "El Bohio" Problema 6.- Se da una circunferencia de 6 cm. de radio. Calcular el radio de la menor circunferencia, tangente a la dad y a dos de sus tangentes, que forman entre sí un ángulo de 60º.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. (click here to install Java now) El centro de la circunferencia buscada, equidistará de la circunferencia y de un lado del ángulo de 60º. Trazamos la tangente a la circunferencia por el punto de intersección de la bisectriz del ángulo 60º, y el lugar geométrico de los puntos que equidistan de del lado y de la tangente citada es su bisctriz, que cortará a la recta BG en J, centro de la circunferencia buscada.

Otra forma de hacer el problema sería mediante triángulos semejantes. Los triángulos GHB y JKB son semejantes, y sea r el radio de la circunferencia desconocida y x la distancia del vértice a dicha circunferencia, 6/r = (6+2r+x)/(r+x), de donde, 6 r +6x = 6r + 2 r2+ x r.
Por otra parte, sabemos que:

tg (30º) = 1/2 = r/(r+x)Þx = r

y sustituyendo en la ecuación anterior, tendremos:

6 r - r2 = 2 r2 Þ r = 2

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