OME 1966/1967.

Problema 5.- La longitud de la hipotenusa BC de un triángulo rectángulo ABC es a, y sobre ella se toman los puntos M y N tales que BM = NC = k, con k<a/2. Supuesto que se conocen (tan sólo) los datos a y k, calcular:

1. El valor de la suma de los cuadrados de las longitudes AM y AN.
2. La razón de las áreas de los triángulos ABC y AMN.
3. El área encerrada por la circunferencia que pasa por los puntos A, M', N', siendo M' la proyección ortogonal de M sobre AC y N' la de N sobre AB

1. Sabemos que k < a/2 = R, por tanto, a - 2k = MN y OA es la mediana del triángulo AMN, de donde:
   (AM²+AN²)/2-(a-2k)²/4 = (a/2)²
   AM²+AN² = a²/4+(a-2k)²/4. También se puede resolver aplicando el teorema del coseno.
2. Los triángulos ABC y AMN, tienen la misma altura, luego la razón de las áreas será la razón que existe entre las bases, es decir, [ABC]/[AMN]=a/(a-2k)
3. Sea M'' la intersección del lado AB con la paralela al lado AC por el punto M, el triángulo AMM'' es semejante al dado ABC con razón de semejanza k/a y además es congruente con el triángulo AM'N', por lo que el área de el círculo ciscunscrito es (k/a)² p(a/2)² = k² p/4

Pepe Martínez, 8/10/2005, Creado con GeoGebra