Se da un punto M en el interior de una circunferencia, a una distancia OM = d del centro O. Por M se trazan dos cuerdas AB y CD que forman ángulo recto. Se une A con C y B con D. Determinar el coseno del ángulo que ha de formar la cuerda AB con Om para que la suma de las áreas de los triángulo AMC y BMD sea mínima.

Sabemos que AM MB = CM MD =r² - d², por ser la potencia del punto M respecto de la circunferencia.
Por otra parte el área de los triángulos es:

[AMC]+[DMB] = 1/2(AM MC+MD MB)³Ö(AM MC MD MB) = r² - d²

y el mínimo se alcanza cuando AM MC = MD MBÞAM = MD y MC = MB y el ángulo es de 45º

Pepe Martínez, 8/10/2005, Creado con GeoGebra