Un triángulo inscrito en una circunferencia de centro O y radio igual a 4 cm. se gira un ángulo recto en torno a O. Hallar el área de la parte común al triángulo dado y al obtenido en ese giro.

Giramos el triángulo ABC, 90º alrededor del circuncentro O, obteniendo el triángulo A'B'C', estos dos triángulos se intersecan en los puntos EF, generando una parte común y seis triángulos rectángulos congruentes.

El radio es 4, y al coincidir el baricentro con el circuncentro, tendremos que m_a = h_a = Ö(3)/2 a, y R = 4 = 2/3 m_a. De donde a = 4Ö(3).
Por otra parte observemos que el arco C'A es de 30º al igual que el CB', luego el ángulo C'EF = 30º (semisuma de los arcos que abarca) y el ángulo C'FE es recto (por el mismo motivo), por ello si la hipotenusa mide h, los catetos medirán h/2 y Ö(3)/2 h. El área del triángulo C'EF es h/2 Ö3/2 h= Ö3/4 h². Además C'E+EF'+F'B'=a=4Ö(3)=h+Ö(3)/2 h+h/2, de donde: h = 8Ö(3)/(3+Ö(3)).
Y el área pedida es el área del triángulo equilátero menos tres veces el área del triángulo rectángulo, es decir, 12Ö3 - 24Ö3/(3+Ö3).

Pepe Martínez, 30/092005, Creado con GeoGebra