Las alturas del triángulo ABC, cortan a los lados BC, AC, AB en los puntos X, Y, Z y a la circunferencia cincunscrita en U, V, W, prueba que AU/AX + BV/BY + CW/WZ = 4.

Sabemos que U, V y W son simétricos del ortocentro H, respecto de los puntos X, Y y Z, por tanto:
AU/AX = (AX + XU)/AX = 1+XU/AX = 1+ HX/AX
BV/BY = (BY + YV)/BY = 1 + YV/BY = 1 + BH/AX
CW/CZ = (CZ + ZW)/CZ = 1 + ZW/CZ = 1+CH/CZ
Si probamos que HX/AX + BH/AX + CH/CZ =1, lo tendremos hecho.
En efecto: HX/AX = (HX BC)/(AX BC) = [HBC]/[ABC]
HY/BY = (HY AC)/(BY AC) = [HAC]/[ABC]
HZ/CZ = (HZ AB)/(CZ AB) = [HAB]/[ABC]
y sumando estas tres últimas igualdades, obtenemos:
[HBC]/[ABC] + [HAC]/[ABC] + [HAB]/[ABC] = [ABC]/[ABC] =1

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