PROBABILIDAD-Capítulo 2

2. Sucesos. Operaciones con sucesos.

2.1. Sucesos.

En el Ejercicio 1.1 del capítulo anterior podemos ver que el espacio muestral asociado al lanzamiento de tres dados y anotar la suma de los puntos obtenidos es:

E={3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18}
Podemos considerar algunos subconjuntos de E, por ejemplo:

Salir múltiplo de 5:	A={5,10,15}
Salir número primo:	C={2,3,5,7,11,13,17}
Salir mayor o igual que 12:	D={12,13,14,15,16,17,18}

Todos estos subconjuntos del espacio muestral E los llamamos sucesos.

Suceso de un fenómeno o experimento aleatorio es cada uno de los subconjuntos del espacio muestral E.

Los elementos de E se llaman sucesos individuales o sucesos elementales.

También son sucesos el suceso vacío o suceso imposible , Ø, y el propio E, suceso seguro.

Al conjunto de todos los sucesos de una experiencia aleatoria lo llamaremos S.

Si E tiene un número finito, n, de elementos, el número de sucesos de E es 2ⁿ.

Ejemplos:

{1,2},{2,4,6},{3,5} son sucesos. {1},{2}, {3}..., son sucesos individuales.
En un dado hay 2⁶ = 64 sucesos.
En una moneda hay 2² = 4 sucesos, que son: Ø, {C},{+}, {C,+}
Es decir, S={Ø,{C},{+},{C,+}}

Ejercicio 2.1-1

2.2. Operaciones con sucesos.

Dados dos sucesos, A y B, se llaman:

Unión		es el suceso formado por todos los elementos de A y todos los elementos de B.
Intersección		es el suceso formado por todos los elementos que son, a la vez, de A y de B.
Diferencia		es el suceso formado por todos los elementos de A que no son de B.
Suceso contrario		El suceso =E - A se llama suceso contrario de A.

Dos sucesos A y B, se llaman incompatibles cuando no tienen ningún elemento común. Es decir, cuando = Ø (A y B son disjuntos)

Decimos que un suceso se ha verificado, si al realizar el experimento aleatorio correspondiente, el resultado es uno de los sucesos elementales de dicho suceso. Por ejemplo, si al lanzar un dado sale 5, se ha verificado, entre otros, los sucesos {5}, {1,3,5} o E.

De manera análoga, decimos que:

El suceso se verifica cuando se verifica uno de los dos o ambos.
El suceso se verivica cuando se verifican simultáneamente A y B.
El suceso , contrario de A, se verifica cuando no se verifica A.
Dos sucesos incompatibles no se verifican simultáneamente.

Ejemplo:

En el experimento E = "lanzar un dado al aire", consideramos los sucesos:

A = "sacar un número par". B = {1,2,3,5} = "obtener un 1, 2, 3 ó 5".

C = {4,6} = "obtener un 4 ó un 6". D = {2,4,6} = "obtener un 2, 4 ó 6".

F = {1,3} = "obtener un 1 ó un 3". G = "obtener un múltiplo de 3".

A y D son sucesos iguales al estar formados por los mismos sucesos elementales.
C está contenido en A. Luego = C, puesto que siempre que ocurre el suceso C (sacar 4 ó 6) ocurre el suceso A, puesto que se obtiene un número par.
B y C son incompatibles, ya que B C = Ø y complementarios, al cumplirse BC = E.
= "sacar un número par" {1,2,3,5} = {1,2,3,4,5,6} = E.
A G = {2,4,6} {3,6} = {6}, es decir, el suceso intersección de los sucesos "sacar un número par" y "obtener un múltiplo de tres" es "sacar un 6".
B-D = B = {1,2,3,5} {1,3,5} = {1,3,5} = "obtener un número impar" = .
C y F son incompatibles puesto que C F = Ø.

Las operacones unión, intersección y complementación (contrario) verifican las propiedades:

	Unión	Intersección
1. Conmutativa
2. Asociativa
3. Idempotente
4. Simplificación
5. Distributiva
6. Elemento neutro
7. Absorción

A las familias de conjuntos que verifican las propiedades anteriores se les denomina álgebras de Boole.

En el álgebra de Boole anterior se verifican las siguientes propiedades, conocidas como leyes de De Morgan:

El suceso contrario de la unión de dos sucesos es la intersección de sus sucesos contrarios:
El suceso contrario de la intersección de dos sucesos es la unión de sus sucesos contrarios:

Ejercicio 2.1-2

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